正合序列

正合序列是沒有任何冗餘的鏈複形：在每一處，映入的全部恰好等於此後映為零的全部。設想水流過一條管道，在每個接口處，從上游到來的水恰好就是允許繼續流向下游的水——既不積聚，也不滲漏。正合性是「一串映射彼此嚴絲合縫」的代數表述，也是大多數結構性定理的表達語言。

確切地說，一串模同態 ... -> A -> B -> C -> ... 在 B 處正合，是指映入 B 的映射的像等於映出 B 的映射的核。若序列在每一項處都正合，則稱之為正合的。由於「像含於核」正是條件 d^2 = 0，正合序列恰好就是所有同調為零的鏈複形。一些特殊的小情形有各自的名稱與含義。

0 -> A -> B 正合意味著 A -> B 是單射；B -> C -> 0 正合意味著 B -> C 是滿射；0 -> A -> B -> 0 正合意味著 A -> B 是同構。五項形狀 0 -> A -> B -> C -> 0 稱為短正合序列，它把 B 編碼為由子模 A 與商 C 拼成。透過正合序列來解讀複雜對象——將其拆成已知的部分——是本學科的核心技巧之一。