五引理

五引理是一員主力：它讓你只需檢查鄰居，便能斷定圖中間的映射是同構。其直覺是，正合序列把各項鎖得如此之緊，以至於五個豎直比較映射中若有四個表現良好，第五個便毫無餘地，只能也是同構。這是證明兩個構造一致的標準手段。

陳述：考慮一個交換圖，其各行正合，對應各項之間有五個豎直映射 m_1、m_2、m_3、m_4、m_5。若 m_1、m_2、m_4、m_5 全是同構，則中間映射 m_3 是同構。證明是一次圖追蹤。事實上更精細的版本（有時稱四引理）給出更多：若 m_2 與 m_4 是同構、m_1 是滿射、m_5 是單射，則 m_3 是同構——並且可以分別孤立出 m_3 的單射性與滿射性。

五引理正是自然性之所以重要的原因：當一個構造產生一個長正合序列之間的映射，而你知道它在除一項外的所有項處都是同構時，剩下那一項便自動成立。它被反覆用來驗證兩個同調或上同調理論一致、某個擬同構誘導同構、以及譜序列中的比較映射是同構。