代數K理論
正合範疇
要構建 K 理論，你需要按這樣的規則清點對象：在任何短正合列中，中間的對象等於兩端之和。但許多自然的對象族——有限生成投射模、向量叢、帶過濾的對象——並非阿貝爾範疇，因而沒有內稟的正合概念。正合範疇正是修補此缺的最小附加結構：你只需在合理的公理下指明哪些短序列算作正合，這便足以驅動整套 K 理論機器。
奎倫意義下的正合範疇，是一個加性範疇 A 連同一類被選定的序列 0 -> A -> B -> C -> 0，稱為容許短正合列（或合流列），其中映射 A -> B 稱為容許單態、B -> C 稱為容許滿態。所選之類須滿足公理：恆等態容許，該類在同構下封閉並含全部分裂序列，容許單態與滿態分別在推出與拉回下穩定，容許單態/滿態在複合下封閉。等價地，A 是某阿貝爾範疇中在擴張下封閉的滿加性子範疇，正合列由周圍阿貝爾範疇繼承。
給定正合範疇 A，奎倫的 Q 構造產生一個拓撲空間，其同倫群即 K 群 K_n(A)；在零階它復原格羅滕迪克群 K_0(A)——由對象生成、對每個容許正合列取商 [B] = [A] + [C]。這正是統一定義概形（經由向量叢或凝聚層）與環的 K 理論的框架，也是證明局部化定理與分解定理的框架。
有限生成投射 R 模的範疇是正合範疇，容許正合列即分裂的那些（每個以投射模為末端的短正合列皆分裂）。它的 K 理論就是環 R 的 K 理論。相比之下，所有有限生成 R 模構成阿貝爾範疇，其 K 理論是 R 的 G 理論。
投射模構成正合範疇；其 K 理論即 K(R)。
每個阿貝爾範疇在選取其全部短正合列後即為正合範疇，而每個在擴張下封閉的滿子範疇都繼承正合結構。一句口號是：正合性是你所選取的結構，而非你所具備的性質——正是這一點使 K 理論能施於非阿貝爾的範疇，如有限生成投射模。
又稱
另見