高階K群
K_0、K_1、K_2 是逐個被發現的，各由一種手工搭建的不同構造得出，曾有一段時間人們並不清楚它們屬於同一個無限族。奎倫的突破在於把所有 K 群一次性地定義為附屬於某個環或範疇的單一空間的同倫群。一旦有了這樣的空間，它的高階同倫群就直接是高階 K 群，而先前那些臨時的定義便作為這架統一階梯的最低幾級自然落下。
有兩種等價的構造。加法構造：取分類空間 BGL(R)，關於完全子群 E(R) 施加奎倫加法構造得 BGL(R)^+，並對 n 至少為 1 定義 K_n(R) = pi_n(BGL(R)^+)，連同單獨定義為格羅滕迪克群的 K_0(R)。Q 構造：對正合範疇 A，構作奎倫 Q 範疇 QA，取其分類空間 BQA，令 K_n(A) = pi_{n+1}(BQA, 0)；當 A 取投射模時它們與加法構造的群一致。二者都使 K 理論成為一列函子 K_n。
高階 K 群確實深刻，且大多尚未算出。奎倫本人算出了有限域的情形：當 i 至少為 1 時 K_{2i-1}(F_q) = Z/(q^i - 1)Z 且 K_{2i}(F_q) = 0。對整數，群 K_n(Z) 與黎曼 zeta 函數的值以及范迪弗猜想相聯繫，許多仍懸而未決。高階 K 理論滿足若干有力的結構定理——加性、局部化、剝皮（dévissage）、分解——使其在有利情形下可計算，儘管一般而言困難重重。
對含 4 個元素的域 F_4，K_1(F_4) = F_4^* = Z/3Z，K_2(F_4) = 0，K_3(F_4) = Z/15Z（因 q^2 - 1 = 15），K_4(F_4) = 0。規律 K_{2i-1} = Z/(4^i - 1)Z、K_{2i} = 0 對所有 i 至少為 1 持續成立。
奎倫對有限域 K 群的計算。
兩種構造相符是一條定理，而非定義；奎倫證明了對投射模而言加法構造與 Q 構造給出相同的群。後來的模型——瓦爾德豪森的 S 點構造、譜、以及動機/高階範疇的方法——把適用範圍擴展到（如帶餘纖維化的範疇等）原構造不能直接適用的情形。