域的K理論
域是最簡單的環，故其 K 群是天然的首座實驗室：每個有限生成模都是向量空間，每個投射模都自由，低階 K 群退化為熟悉的算術不變量。然而即便在此，域的高階 K 群也深入數論的最深水域，編碼著單位、布勞爾類、平展上同調以及 zeta 函數的特殊值。域的 K 理論底層渺小，上層卻浩瀚。
對域 F：K_0(F) = Z（每個向量空間由維數決定）；K_1(F) = F^*，即單位的乘法群；而由松本定理，K_2(F) 由斯坦伯格符號 {a, b} 生成。存在從米爾諾 K 理論 K_n^M(F) 到奎倫 K 理論 K_n(F) 的自然滿射；當 n 至多為 2 時它是同構，但一般而言不是。K_*(F) 中的撓由布洛赫–加藤猜想（現為羅斯特–沃耶沃茨基定理）支配，該結果把模 m 的米爾諾 K 理論與伽羅瓦上同調等同起來。
有兩處尤為突出。K_2 與米爾諾 K 理論的 2 撓及符號結構支配布勞爾群：K_2(F)/2 經由四元數代數的符號滿射到 Br(F) 的 2 撓之上。而對整體域與局部域，高階 K 群攜帶算術：K_*(F_q) 在奇數階為有限循環群，K_*(Q) 與 K_*(數域) 經由奎倫–利希滕鮑姆猜想與 zeta 值相聯繫，此猜想亦經布洛赫–加藤的機器獲解。於是域的 K 理論是代數、算術與動機上同調的交匯點。
對 F = R，K_0(R) = Z，K_1(R) = R^*（同構於 Z/2Z 與正實數的積），而 K_2(R) 含階為 2 的符號 {-1, -1}。對 F = Q，K_1(Q) = Q^* 分解為 Z/2Z 與素數上的自由阿貝爾群之積，反映了唯一分解。
對每個域 F，K_0(F) = Z，K_1(F) = F^*。
務必區分奎倫 K 理論 K_n(F) 與米爾諾 K 理論 K_n^M(F)：它們在 0、1、2 階一致，更高階則分道揚鑣。例如 K_3(F) 在米爾諾符號之外還攜帶一個不可分解部分（與雙對數相關），由布洛赫群刻畫。