一般線性群（K理論）
在 K 理論中，人們很少關心固定尺寸的矩陣；要緊的是那些在沿對角線補入額外的 1 之後仍然保持的性質。無限一般線性群正是把這種補綴正式化的裝置：它是所有有限一般線性群的並，黏合的方式使得一個 n 階矩陣與把它鑲邊成 (n+1) 階的同一矩陣直接成為同一個元素。如此穩定化，便撫平了那些遮蔽更深層不變量的低秩偶然現象。
形式地說，對環 R 構造有向系統 GL(1, R) -> GL(2, R) -> GL(3, R) -> ...，其中 GL(n, R) -> GL(n+1, R) 把 A 送到分塊矩陣 [A, 0; 0, 1]。無限一般線性群 GL(R) 是此系統的正向極限（餘極限），等價地是僅在有限多個元處異於單位陣的可逆無限矩陣之群。每個元素都落在某個 GL(n, R) 中，且兩個元素在 GL(R) 中相等當且僅當它們穩定地納入共同的 GL(N, R) 後相符。
GL(R) 是高階 K 理論的主力。它的阿貝爾化是 K_1(R)；它的換位子群是初等群 E(R)；而對分類空間 BGL(R) 施加奎倫的加法構造，便得到一個空間，其同倫群正是高階 K 群 K_n(R)（n 至少為 1）。於是 K_0 之上幾乎全部的 K 理論，都編碼在這一個穩定化線性群的同倫型之中。
取 R 為域 F。GL(F) 的一個元素是某有限尺寸、元素屬於 F 的可逆矩陣，並按添加單位塊視為相等。它在阿貝爾化 K_1(F) = F^* 中的像就是其行列式；行列式之所以良定，正因為 det[A, 0; 0, 1] = det A。
GL(F) 是 GL(n, F) 的遞增並，由單位塊補綴。
穩定化不可或缺，因為非穩定群 GL(n, R) 的同調要等 n 增大才安定下來；極限 GL(R) 的同調即把這一同調穩定區間永久化。奎倫的加法構造恰是把這一群同調轉化為同倫群而保其不變的工具。