初等矩陣
你能對一個矩陣做的最簡單的非平凡操作，便是把一行的某個倍數加到另一行上。執行這一單步操作的矩陣——單位陣在對角線外多出一個元素——就是初等矩陣。它們是高斯消元的原子，而在 K 理論中它們扮演著「可被忽略的操作」的角色：K_1 正是把它們生成的子群取商之後所殘存者。
對環 R、互異指標 i 與 j 以及環元素 r，初等矩陣 e_{ij}(r) 是除位置 (i, j) 處為 r 外都與單位陣相同的矩陣。這些矩陣滿足乾淨的關係：e_{ij}(r) e_{ij}(s) = e_{ij}(r + s)（故每個固定的對 (i, j) 給出一個同構於 R 加法群的子群），以及描述 [e_{ij}(r), e_{kl}(s)] 如何依指標重疊方式而定的斯坦伯格換位關係。GL(n, R) 中由全體 e_{ij}(r) 生成的子群是初等群 E(n, R)，其穩定並即 E(R)。
每個 e_{ij}(r) 行列式為 1，故 E(R) 含於 SL(R) 內。在域上、或任一歐幾里得整環上，高斯消元表明 E(n, R) = SL(n, R)，即初等矩陣生成全部行列式為 1 的矩陣。在更一般的環上這可能失效，而差距 SL(R) / E(R) 正是 SK_1 所度量者的一部分。初等矩陣也是斯坦伯格群的幾何源頭，後者的抽象呈示恰好複製了這些關係。
在 GL(2, R) 中，e_{12}(r) = [1, r; 0, 1]，e_{21}(s) = [1, 0; s, 1]。它們的乘積 e_{12}(r) e_{21}(s) = [1 + rs, r; s, 1] 已處處具有非平凡元素，表明只需幾個初等動作便能生出複雜的矩陣。
兩個 2x2 初等矩陣及其乘積。
需注意：代數學家所說的初等矩陣僅指切變矩陣 e_{ij}(r)；本科線性代數課程中的行伸縮與行交換矩陣被有意排除，因為伸縮攜帶行列式資訊，而 K_1 的設計正是要保留而非丟棄它。