高斯消去法

當方程組有許多方程、許多未知數時，臨時的小聰明就行不通了，你需要一套總能奏效的程序。高斯消去法正是這樣的程序：一種把線性方程組系統地行化簡成簡單階梯形、再輕鬆讀出答案的方法。它以卡爾·弗里德里希·高斯命名，是手算與電腦求解線性方程組背後的主力。

該方法使用三種被允許的操作，稱為初等列變換：交換兩個方程、用一個非零數乘某個方程、把某個方程的若干倍加到另一個方程上。這些操作都不改變解集。你運用它們在對角線下方製造零，達到上三角形式，使最後一個方程只含一個未知數。

一旦化為那個三角形式，你就用回代來收尾——解出最底下的方程，把那個值向上輸送，依次求回每個變量。這同一個演算法還會誠實地告訴你：方程組何時無解（出現 0 = 非零的一列），或何時有無窮多解（出現全為零的一列）。用矩陣的語言說，你是在一個增廣矩陣上執行這些操作，而增廣矩陣不過是去掉了變量名的那些方程。