代數K理論
K_1
若說 K_0 清點模，則 K_1 度量自由模的對稱性——可逆矩陣——但只在丟棄那些任何中學生靠初等行變換就能得到的之後才算。在域上，每個可逆矩陣都是若干初等運算再加一次伸縮的乘積，而剩下的那次伸縮恰好就是行列式。K_1 是行列式向任意環的推廣：它捕捉當你盡其所能做行約化之後仍殘留的阻礙。
設 GL(R) 為無限一般線性群，即諸群 GL(n, R) 在包含 A 映為 [A, 0; 0, 1] 下的並。其中坐落著由全體初等矩陣生成的子群 E(R)。懷特海引理表明 E(R) 恰為 GL(R) 的換位子群，故商 K_1(R) = GL(R) / E(R) 是阿貝爾群。具體地說，K_1(R) 是 GL(R) 的阿貝爾化：穩定可逆矩陣的最大阿貝爾商。
對交換環 R，行列式給出滿射 K_1(R) -> R^*（單位群），並因可把一個單位視作 1x1 矩陣而分裂，故 K_1(R) = R^* ⊕ SK_1(R)，其中 SK_1(R) 是來自行列式為 1 的矩陣的特殊部分。對域、歐幾里得整環和局部環，SK_1 為零，K_1(R) 就是單位群 R^*。SK_1 不為零是一個真正微妙、往往屬於算術的現象。
對 R = Z，單位為 {+1, -1} 且 SK_1(Z) = 0，故 K_1(Z) = Z/2Z，由行列式的符號探測。對域 F，K_1(F) = F^*，即非零元素的乘法群。
K_1(Z) = Z/2Z，由行列式為 -1 的矩陣生成。
懷特海引理是這裡的引擎：它斷言 [E(R), E(R)] = E(R) 且 E(R) = [GL(R), GL(R)]，其證明依據是分塊對角矩陣的任意換位子皆為初等矩陣這一恆等式。這正是 K_1 自動成為阿貝爾群、而無需在每個 GL(n) 層面手動取阿貝爾化的原因。
又稱
另見