K理論局部化序列
局部化是把環中某些元素求逆——造出分式——的代數操作，人們想知道它如何改變 K 群。局部化序列正是回答此問的記帳工具：它是一條長正合列，把原環的 K 理論、局部化後環的 K 理論，以及一個度量過程中確切丟失或取商之物的修正項，連結在一起。它是拓撲中序對長正合列的 K 理論對應物。
在最乾淨的情形，設 R 為戴德金整環（或正則諾特環），S 為乘性集，局部化 R -> S^{-1}R。奎倫的局部化定理給出長正合列 ... -> K_n(R 上的撓) -> K_n(R) -> K_n(S^{-1}R) -> K_{n-1}(R 上的撓) -> ...，其中首項是支於被求逆素理想之上的有限生成撓模範疇的 K 理論。由剝皮定理，該修正項分解為被 S 求逆的諸素理想 p 處剩餘域 R/p 的 K 理論之和。
原型實例：對分式域為 F 的戴德金整環 R，序列讀作 ... -> ⊕_p K_n(R/p) -> K_n(R) -> K_n(F) -> ⊕_p K_{n-1}(R/p) -> ...，求和遍歷非零素理想 p。在零階它復原聯繫類群、單位與除子映射的正合列；在更高階它是計算 K_*(Z) 與整數環 K_* 的引擎。該序列依賴奎倫的分解定理、剝皮定理與局部化定理，並可推廣到概形。
對 R = Z，F = Q，序列在 (1, 0) 處的部分是 0 -> K_1(Z) -> K_1(Q) -> ⊕_p K_0(F_p) -> K_0(Z) -> K_0(Q) -> 0，它展開為 Q^* = {±1} 與素數上自由群之積，其中除子映射把一個有理數送到它在每個素數 p 處的階。
Z 的局部化序列復原 Q^* 上的除子映射。
對任意諾特環的 G 理論（所有有限生成模的 K 理論），局部化序列總正合；但對尋常 K 理論，則需要正則性，因為要比較局部化前後的投射模，需有有限投射維數。這一正則性假設的失效，恰是負 K 理論所度量者。