負K理論
正的 K 群 K_0, K_1, K_2, ... 向上攀升，但還有一層地下室：負階的 K 群 K_{-1}, K_{-2} 等等。它們由巴斯在高階理論尚未出現之前定義，充當奇點的探測器。對光滑或正則的環，地下室空無一物——所有負 K 群都為零——故一個非零的負 K 群正是「該環（或概形）非正則」的精確代數信號。
巴斯用洛朗多項式環 R[t, t^{-1}] 通過下降遞歸定義負 K 群。K 理論的基本定理給出 K_n(R[t, t^{-1}]) = K_n(R) ⊕ K_{n-1}(R) ⊕（兩個 nil 項），巴斯利用類似的分裂把 K_{-1}(R) 定義為 K_0(R[t]) ⊕ K_0(R[t^{-1}]) -> K_0(R[t, t^{-1}]) 的餘核，再迭代：K_{-n}(R) = K_{-n+1}(R[t, t^{-1}]) / (收縮部分)。等價地，以現代語言說，K(R) 延拓為一個在所有整數階都有同倫群的譜，其負的同倫群即負 K 群。
關鍵的結構事實是正則性：若 R 是正則諾特環，則對所有 n 大於 0 有 K_{-n}(R) = 0，並且 K_n(R[t]) = K_n(R)（同倫不變性）。當這些失效時，負 K 理論不為零，度量著此缺陷。負 K 群的消沒、有限性與行為由韋貝爾猜想（現為克爾茨–施特倫克–塔姆的定理）支配：對維數為 d 的諾特概形，n 大於 d 時 K_{-n} 為零，故地下室的深度以維數為界。
結點三次曲線的座標環 R = k[x, y]/(y^2 - x^3 - x^2)，是一個帶奇點的一維環，其 K_{-1}(R) = Z 不為零，因為該曲線在結點處非正則。它的正規化（正則模型）滿足 K_{-1} = 0，故 K_{-1} 恰好看見了那個奇點。
結點三次曲線的 K_{-1} 為 Z，探測到奇點。
完整的巴斯基本定理把這一切打包：K_n(R[t, t^{-1}]) 分裂為 K_n(R) ⊕ K_{n-1}(R) ⊕ NK_n(R) ⊕ NK_n(R)，其中 NK 項是 nil K 群，恰當 R 為 K_n 正則時為零。於是負 K 理論、nil K 理論與同倫不變性的失效，是非正則性的三副面孔。