斜多項式環

普通多項式環 R[x] 讓 x 與所有係數平靜地交換：x*a = a*x。斜多項式環保留同樣的多項式，卻改寫了把 x 移過係數的規則，借助基環的一個自同態把它扭轉。如今 x*a 等於 sigma(a)*x（sigma 是某固定自同態），所以把 x 拖到左邊會變換每個係數。它是多項式環的非交換表親，專為編碼移位、弗羅貝尼烏斯或導子這類扭轉而生。

確切地說，給定環 R 與 R 的環自同態 sigma，斜多項式環 R[x; sigma] 由左多項式 a_0 + a_1*x + ... + a_n*x^n 構成，其乘法由唯一規則 x*a = sigma(a)*x（對所有 a 屬於 R）強制。更一般地，歐爾擴張 R[x; sigma, delta] 還允許一個 sigma-導子 delta，給出規則 x*a = sigma(a)*x + delta(a)，它同時推廣斜多項式與微分算子。

這些環是一座多用途的例子工廠。取 sigma 為恆等而 delta 為普通導子，R[x; 1, delta] 是一個微分算子環——外爾代數正是這樣由 k[t] 配以 delta = d/dt 產生。取 delta = 0 而 sigma 為非平凡自同構，便得到對 q-差分方程與量子代數至關重要的扭轉移位代數。許多量子平面與量子群都由迭代歐爾擴張構造。

當基環良好時它們繼承良好的結構：若 R 是除環且 sigma 是自同構，則 R[x; sigma, delta] 是左、右主理想整環，其中成立一個非交換的帶餘除法，故可做歐幾里得式的算術。這使斜多項式環成為一個受控、可計算的遊樂場，許多非交換代數的現象都能在其中被顯式展示。