量子群

量子群根本不是群——它是把兩個經典「群形」霍普夫代數之一透過將參數 q 從 1 撥開而形變得到的霍普夫代數。在 q = 1 時恢復普通對象（坐標環或包絡代數）；對一般的 q，乘法與餘乘法扭曲成既非交換又非餘交換的東西，但所有霍普夫公理依舊成立。這名稱暗示與量子化的類比，那裡一個參數把交換的經典理論形變為非交換的量子理論。

具體地，兩個對偶族是標準的。形變坐標代數 O_q(G) 形變群上的函數，形變包絡代數 U_q(g) 形變半單李代數 g 的泛包絡代數；它們由德林費爾德與神保於 1985 年前後獨立引入。例如 O_q(SL_2) 由 a, b, c, d 生成，帶形如 ab = q ba 的關係，及量子行列式 ad - q bc = 1，在 q = 1 時恢復交換的 SL_2。

量子群不僅是獵奇之物：它們通常是擬三角的，帶有解楊–巴克斯特方程的 R-矩陣，故其模範疇是辮化的。這使它們成為量子可積系統、諸如瓊斯多項式的紐結與鏈環不變量、以及三維拓撲量子場論背後的代數引擎。