霍普夫代數

霍普夫代數是群的代數提煉。群有三種運算：乘、取單位、取逆。把它們翻譯為群函數空間上的線性代數，便分別得到一個乘法、一個單位，以及——逆運算的對偶——對極，它們位於編碼群法則的餘乘法與餘單位之上。霍普夫代數就是具備所有這些公理的任何結構，無論是否來自真正的群。

形式地，k 上的霍普夫代數是雙代數 (H, m, u, Δ, ε) 連同線性映射 S : H -> H，即對極，滿足 m ∘ (S ⊗ id) ∘ Δ = u ∘ ε = m ∘ (id ⊗ S) ∘ Δ。用斯威德勒記號這是 Σ S(c(1)) c(2) = ε(c) 1 = Σ c(1) S(c(2))。對極是卷積代數 Hom(H, H) 中恆等映射的卷積逆。

兩個基礎例子互相對偶。群代數 k[G] 是餘交換的，Δ(g) = g ⊗ g，ε(g) = 1，S(g) = g^{-1}。它的受限對偶是 G 上表示函數的代數，它是交換的；對代數群 G 這就是坐標環 O(G)。量子群作為既不交換又不餘交換的單參數形變，插在這兩個世界之間。