對極

在群中，每個元素都有逆。當你把群換成霍普夫代數後，「取逆」就變成對極。它是一個線性映射 S，與餘積的拆分再相乘的機制結合時，把一切抵消到餘單位——恰如元素乘以其逆塌縮為單位。所以對極是逆運算在霍普夫代數中的影子。

確切地說，霍普夫代數 H 的對極是卷積代數 (Hom(H, H), *, u∘ε) 中恆等映射 id_H 的雙側卷積逆。即 S 滿足 S * id = u ∘ ε = id * S，用斯威德勒記號讀作 Σ S(c(1)) c(2) = ε(c) 1 = Σ c(1) S(c(2))。由於卷積逆存在時唯一，對極由雙代數結構唯一確定。

對極對兩種結構總是反同態：S(ab) = S(b)S(a) 且 (S ⊗ S) ∘ Δ = τ ∘ Δ ∘ S，其中 τ 是翻轉。作為線性映射它不必可逆，不過只要 H 交換或餘交換就有 S² = id。在群代數中 S(g) = g^{-1}，故 S² = id；在真正的量子群中 S² 是非平凡的內型自同構，這是它們非（餘）交換性的一個徵象。