雙代數

雙代數是同時戴著兩頂帽子的向量空間：它是代數（你能乘元素）又是餘代數（你能餘乘元素），而關鍵在於兩種結構相容。相容意味著餘乘法本身是代數映射——拆分乘積等同於乘各自的拆分。這一條相容條件把兩個世界熔為一體。

形式地，在 k 上，雙代數是元組 (H, m, u, Δ, ε)，其中 (H, m, u) 是結合么代數，(H, Δ, ε) 是餘代數，且 Δ : H -> H ⊗ H 與 ε : H -> k 是代數同態。等價地，m : H ⊗ H -> H 與 u : k -> H 是餘代數同態；兩種表述是同一公理。這裡 H ⊗ H 帶有張量積的代數與餘代數結構。

雙代數比霍普夫代數低一級：霍普夫代數是帶額外映射——對極——的雙代數。許多自然對象是恰好也是霍普夫代數的雙代數——群代數、泛包絡代數、帶 Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x 的多項式環 k[x]——但也有沒有對極的雙代數，例如自然數乘法么半群上函數的多項式雙代數 k[N]。