餘代數

普通代數讓你把兩個東西合併成一個——乘法是合併。餘代數做鏡像的事情：它讓你把一個東西拆分成一些對的和。如果你想像把代數的箭頭反過來，就得到餘代數。前綴「餘」總是暗示這種「反轉箭頭」的哲學，而它出人意料地富有成果。

形式地說，在域 k 上，餘代數是一個向量空間 C，配備兩個線性映射：餘乘法 Δ : C -> C ⊗ C 與餘單位 ε : C -> k。它們必須滿足與結合律、單位律對偶的公理。餘結合律說 (Δ ⊗ id) ∘ Δ = (id ⊗ Δ) ∘ Δ 作為 C -> C ⊗ C ⊗ C 的映射成立，餘單位公理說在典範同構 k ⊗ C ≅ C ≅ C ⊗ k 下 (ε ⊗ id) ∘ Δ = id = (id ⊗ ε) ∘ Δ。

這種對偶是精確的：若 A 是有限維代數，則其線性對偶 A* = Hom(A, k) 自然地是餘代數，因為乘法 A ⊗ A -> A 的對偶是映射 A* -> (A ⊗ A)* ≅ A* ⊗ A*。在無限維時必須小心，因為 (A ⊗ A)* 一般比 A* ⊗ A* 大，代數的對偶只有過渡到適當的受限對偶後才是餘代數。