餘乘法

乘法把兩個輸入融合成一個輸出。餘乘法，常稱為餘積，反方向運行：它取一個元素並產生張量對的和，告訴你該元素可以「拆成」兩塊的所有方式。對群上的函數，餘乘法編碼群的乘法：在乘積處的值透過在因子處的值來表達。

確切地說，向量空間 C 上的餘乘法是一個線性映射 Δ : C -> C ⊗ C，它是餘結合的：(Δ ⊗ id) ∘ Δ = (id ⊗ Δ) ∘ Δ。餘結合律讓你能無歧義地寫出迭代餘積，正如普通結合律讓你在乘積中去掉括號。與相容的餘單位一起，餘乘法使 C 成為餘代數。

啟發性的幾何圖像：若 G 是有限群且 C = k[G] 是 G 上的函數空間，則 Δ(f) 是 G × G 上由 Δ(f)(x, y) = f(xy) 給出的函數，視為在 k[G] ⊗ k[G] ≅ k[G × G] 內。因此餘乘法實際上就是群法則的對偶，即沿乘法的拉回。量子群正是透過形變這個映射、同時保持餘結合律而產生的。