餘單位

代數有單位：一個特殊元素 1，與它相乘什麼也不改變。對偶地，餘代數有餘單位：一個特殊的線性泛函 ε，當你餘乘後再求值一個因子時——在適當意義下——它什麼也不改變。它是拆分運算必須尊重的「無所作為的可觀測量」。

形式地，餘代數 C 的餘單位是滿足 (ε ⊗ id) ∘ Δ = id = (id ⊗ ε) ∘ Δ 的線性映射 ε : C -> k，這裡我們認同 k ⊗ C ≅ C ≅ C ⊗ k。用斯威德勒記號寫 Δ(c) = Σ c(1) ⊗ c(2)，該公理讀作 Σ ε(c(1)) c(2) = c = Σ c(1) ε(c(2))。因此把 ε 作用到餘積的一條腿並收縮，便重建出原元素。

與單位的對偶是精確的。若 A 是帶單位映射 u : k -> A、1 ↦ u(1) 的有限維代數，則對偶映射 u* : A* -> k 恰是對偶餘代數 A* 的餘單位。對群上的函數代數 k[G]，餘單位是在單位元處求值：ε(f) = f(e)。