卷積積

設你有餘代數 C（能拆分元素）與代數 A（能乘元素）。則任意兩個從 C 到 A 的線性映射都可組合：用餘積拆分輸入，將每塊送過其中一個映射，再在 A 中把結果乘回去。這一配方就是卷積積，它使全體線性映射的空間 Hom(C, A) 自身成為代數。

形式地，對 f, g ∈ Hom(C, A)，卷積 f * g 定義為 f * g = m_A ∘ (f ⊗ g) ∘ Δ_C。用斯威德勒記號，(f * g)(c) = Σ f(c(1)) g(c(2))。帶此積的 Hom(C, A) 是結合代數；其單位是複合 u_A ∘ ε_C，即把 c 送到 ε(c) 1_A 的映射。卷積的結合性源於 Δ 的餘結合性與 m 的結合性。

卷積是對極的概念歸宿：在雙代數 H 中，對極按定義就是 Hom(H, H) 中恆等映射的卷積逆。這名稱來自經典分析——群上函數的卷積 (f * g)(x) = Σ f(y) g(y^{-1}x)，正是有限群函數霍普夫代數下的這一構造，其中 Δ 編碼群法則。