擬三角霍普夫代數

餘交換霍普夫代數是對稱的：把它的兩個表示張量再交換因子毫無代價。多數量子群不餘交換，故樸素交換不是模映射——它不尊重作用。擬三角結構是受控的療法：一個額外元素 R，度量餘交換性的失敗，並把交換修復成真正的辮化。它是使非餘交換霍普夫代數表現得辮化的最小數據。

形式地，擬三角霍普夫代數是對 (H, R)，其中 H 是霍普夫代數，R ∈ H ⊗ H 是可逆元，即萬有 R-矩陣，滿足對所有 h ∈ H 有 τ(Δ(h)) = R Δ(h) R^{-1}，連同 (Δ ⊗ id)(R) = R_{13} R_{23} 與 (id ⊗ Δ)(R) = R_{13} R_{12}。第一關係說 R 把 Δ 與反向餘積纏結，恰是餘交換性的障礙。

回報是範疇性的：若 (H, R) 是擬三角的，其（左）模範疇是辮化么半的，辮化為 c_{V,W}(v ⊗ w) = τ(R · (v ⊗ w))。R-矩陣公理迫使辮化滿足六邊形，從而滿足楊–巴克斯特方程。德林費爾德–神保量子群 U_q(g) 是擬三角的，這正是其表示論餵養紐結不變量與可積系統的原因。