上積

上積是一種把上同調類相乘的方式，它把一串分次的阿貝爾群變成一個環。每個次數上的上同調由作為函數的上鏈構建；上積只是把兩個這樣的函數相乘——把連續的自變量分別餵給兩個因子——再驗證這尊重上閉鏈與上邊緣的結構。其回報是：作為環的上同調比作為一列群攜帶多得多的資訊。

對帶模 A 與 B（經一個 G 等變雙線性映射 A ⊗ B -> C 配對到模 C）的群 G，上積是映射 H^p(G, A) ⊗ H^q(G, B) -> H^{p+q}(G, C)。在非齊次上鏈上它由 (f ∪ h)(g_1, ..., g_{p+q}) = f(g_1, ..., g_p) · (g_1 ... g_p)·h(g_{p+1}, ..., g_{p+q}) 給出。可驗證 d(f ∪ h) = df ∪ h ± f ∪ dh，故該積下降到上同調，並在類上良定。

上積是結合的且分次交換的：對次數 p 與 q 的類有 x ∪ y = (-1)^{pq} y ∪ x。取平凡模 Z，全上同調 H^*(G, Z) = ⊕_n H^n(G, Z) 成為分次交換環，即 G 的上同調環，是有限群中被深入研究的有力不變量。在伽羅瓦上同調中，上積拼裝出局部與整體配對（如希爾伯特符號與泰特對偶），它們處於類域論的核心。