左正合函子

函子對正合序列的友好程度各有不同。左正合函子尊重短正合序列的左半部分——它保持核的存在以及起點處的單射性——但可能在右端失效，丟掉滿射性。設想一種翻譯，它忠實地呈現一句話的開頭與中間，卻把最後一個詞譯得亂七八糟：失敗集中在一端，而正是這種集中使之可度量。

形式地說，加性（協變）函子 F 是左正合的，若對每條短正合序列 0 -> A -> B -> C -> 0，序列 0 -> F(A) -> F(B) -> F(C) 都正合。等價地，F 保持一切有限極限，尤其是核與有限積。典範例子是對固定模 M 的 Hom(M, -)：把它施加於短正合序列會保持單射性以及中間的正合性，但誘導映射 Hom(M, B) -> Hom(M, C) 未必滿。反變函子如 Hom(-, M) 稱為左正合，若它把短正合序列變為 0 -> F(C) -> F(B) -> F(A)。

右正合性的缺陷恰好是右導出函子所修復的：F 左正合，正是為了使 R^0 F = F，並讓更高的 R^n F 接續起來構成長正合序列。對偶地，右正合函子（以張量積為範本）保持右端，由左導出函子修正。既左正合又右正合的函子稱為正合函子，其導出函子在正次數處消失。