內射模

內射模是投射模的鏡像：它不是沿滿射提升映射，而是沿單射延拓映射。可以把它想成一個對擴大定義域沒有任何障礙的模——只要你有一個定義在子模上的映射，想把它延拓到整個模上，一個內射的目標就讓你做到。它是一個『完備』或『足夠可除』、東西總能被推入的模。

形式地說，R-模 E 是內射的，如果對每個單射 i : A -> B 與每個映射 f : A -> E，存在 g : B -> E 使 g∘i = f。由貝爾判別法，只需對左理想到 R 的包含驗證此性質：E 內射當且僅當每個從左理想 I 到 E 的 R-同態都延拓到 R -> E。等價地，函子 Hom(-, E) 是正合的，且 E 是含它的每個模的直和項。

在 Z 上（更一般地在主理想整環上），內射等同於可除：阿貝爾群內射當且僅當對每個元素 x 與每個非零整數 n 都存在 y 使 ny = x。於是 Q 與 Q/Z 是內射的 Z-模，而 Z 本身不是。每個模都嵌入某個內射模中（內射包絡是其中最小者），這正是使內射分解與右導出函子 Ext 得以存在的原因。