代數幾何基礎
概形
概形之於代數幾何,猶如流形之於微分幾何:一個由簡單局部卡黏合而成的全局對象。這裡的卡是交換環的素譜,把它們黏合起來,就能一舉在任意環上做幾何——在整數上、在有限域上,乃至在帶冪零元、編碼無窮小增厚的環上。
確切地說,概形是一個局部環化空間 (X, O_X),它作為局部環化空間局部同構於某交換環的譜 Spec R 連同其結構層。仿射概形 Spec R 是局部模型;一般概形由若干開集覆蓋,每個同構於一個仿射概形,而結構層記錄正則函數,其莖是局部環。
概形極大地擴張了經典理論。它們容許冪零元,故「重點」 Spec k[x]/(x^2) 是一個真正的非約化對象,記住了一個切方向;它們有一般點,使不可約性一目了然;它們支持纖維積、基變更與乾淨的點函子。簇重新作為域上約化、分離、有限型的概形出現,故經典的一切毫無損失,卻獲益無窮——這正是現代算術幾何與代數幾何賴以書寫的框架。
Spec k[x]/(x^2) 是單點空間,但其環帶有冪零元 x;它是「重原點」或一階無窮小鄰域,從它射入一個簇的映射探測切向量。
一個非約化的單點概形——經典上看不見,卻攜帶一個切方向。
「概形」一詞出自格羅滕迪克;舊時作者所稱的「概形」(謝瓦萊)或「準簇」含義不同。今日的概形未必分離或約化,而「簇」通常指域上整、分離、有限型的概形。
另見