韋德伯恩小定理

在狹小的空間裡很難維持非交換性。你或許希望造一個小小的有限數系，其乘法真正左右不對稱，卻仍能對任何非零元做除法。韋德伯恩小定理說你做不到：任何這樣的有限系統都被迫可交換。僅憑有限性本身，就把非交換性熨平了。每個有限除環暗地裡都是一個域。

確切地說：每個有限除環都可交換，因而是一個有限域。結合有限域的分類，這意味著階為 q 的有限除環就是那個 q 元唯一域，其中 q 是質數冪。所以根本不存在有限斜體——非交換除法的整個現象都需要無窮多個元素。

經典證明是群與數論交織的瑰寶。人們為除環的乘法群寫下類方程，用中心化子表達各共軛類的大小，並觀察到分圓多項式 Phi_n 在 q 處的值必須同時整除 q^n - 1 與每個 (q^n - 1)/(q^d - 1) 項。隨後對 Phi_n 在 q 處的值的一個整除性估計迫使 n = 1，即中心就是全部。

值得細品有限性被用得多麼鋒利。同一論斷離開它便不成立：無窮的四元數是一個非交換除環。該定理還有幾何回響——由韋德伯恩等人的定理，每個由除環座標化的有限射影平面都是笛沙格的且帕普斯的，因為其座標除環被迫成為可交換的域。