舒爾引理

舒爾引理是一句看似短小卻效力巨大的論斷：它說不可約表示極其剛硬。它們之間幾乎沒有 G 等變映射——除了顯然的零映射，除非兩個不可約表示其實相同；而從不可約表示到自身的等變映射只有乏味的標量。正是這種剛性使特徵標能區分表示，並把眼前的一切對角化。

陳述：設 V 與 W 是 G 的不可約表示，f: V -> W 為 G 等變映射（交織子，即對所有 g 有 f rho_V(g) = rho_W(g) f）。則 f 要麼為零，要麼是同構。特別地，若 V 與 W 不同構，唯一的交織子是 0。此外，若基域代數閉，則每個交織子 f: V -> V 都是恆等的標量倍，因為 f 有特徵值 lambda，而 f - lambda*I 是不可逆的交織子，故為零。

第二部分中代數閉的假設至關重要：在 R 上，循環群按角 theta 旋轉的表示不可約，但其自同態環是複數 C 而非僅 R——存在非標量的交織子（旋轉 90 度）。所以「自同態都是標量」僅在代數閉域上逐字成立；一般地，自同態環是 k 上的一個可除代數。