正交關係

正交關係說：有限群的不可約特徵標，作為數構成的向量，在一個自然內積下兩兩垂直且長度為一。這一條幾何事實把表示的雜亂記帳化為乾淨的線性代數：要檢驗不可約、要分解一個表示、或要數某個不可約表示出現的份數，只需取內積。

在 G 的複值類函數上定義厄米內積 (a, b) = (1/|G|) 對 g 屬於 G 求和 a(g) 乘以 b(g) 的複共軛。第一正交關係（列正交）說不可約特徵標 chi_i 滿足 (chi_i, chi_j) 在 i = j 時為 1、否則為 0——它們構成標準正交系，實為類函數空間的一組標準正交基。第二正交關係（行正交）是特徵標表各行上的對偶陳述：對所有不可約表示求和 chi_i(g) 乘以 chi_i(h) 的共軛，當 g 與 h 共軛時得 |C_G(g)|，否則為 0。

這些關係源自把舒爾引理用於不可約表示間的平均交織子，再以特徵標恆等式取得最乾淨的形態。其後果無處不在：在特徵標為 psi 的表示中，不可約 chi_i 的重數恰為 (psi, chi_i)；一個類函數是某個真表示的特徵標當且僅當它是 chi_i 的非負整數組合；而 (psi, psi) = 1 刻畫不可約性。