表示的張量積

給定同一個群的兩個表示，你可以把它們組合成其空間張量積上的一個新表示，讓群同時作用在兩個因子上。這種表示的「乘法」賦予表示之集一種類環結構：可以相加（直和）也可以相乘（張量），而特徵標把這個乘積變成函數的逐點普通乘法。

設 (V, rho) 與 (W, sigma) 是 G 在 k 上的表示。它們的張量積是空間 V 張量 W，帶對角作用 g.(v 張量 w) = rho(g)v 張量 sigma(g)w，再線性延拓——同一個元素 g 同時作用在兩條腿上。這確實是 G 的表示（而非 G 乘 G 的），其維數為 dim(V) 乘 dim(W)。其特徵標是特徵標之積：chi_{V 張量 W}(g) = chi_V(g) 乘 chi_W(g)。

即便因子都不可約，張量積也很少不可約：把 V 張量 W 分解為不可約表示就是克萊布什-戈爾丹問題，在物理與李群表示論中居於核心。特徵標公式使記帳可行——重數即乘積特徵標與各不可約特徵標的內積。特例包括 V 的對稱平方與外平方，即 V 張量 V 在交換下的 G 不變子空間。