不可分解模

不可分解模是無法拆成兩個更小非零片段的直和的模——它以單個連成一體的塊出現。這是比單更弱、更微妙的概念：單模根本沒有子模，而不可分解模可能滿是子模，只要其中沒有一個能作為直和項分裂出來。不可分解模才是直和分解真正的基本磚塊。

非零 R-模 M 不可分解，如果 M = A ⊕ B（作為子模）迫使 A = 0 或 B = 0。每個單模都不可分解，但反之不然。一個乾淨的刻畫：有限長度的模不可分解，當且僅當它的自同態環是局部環，即每個自同態要麼冪零、要麼是同構——沒有可投影到某直和項的非平凡冪等元。

克魯爾–施密特定理使不可分解模具有決定性意義：有限長度的模分解為不可分解模的直和，且該分解在同構與直和項重排的意義下唯一。在主理想整環上，不可分解的有限生成模恰好是 R 本身與質冪循環模 R/(p^n)；後者不可分解，但當 n ≥ 2 時遠非單模，因為它含有就是不肯分裂出去的真子模。