拉回

拉回是範疇論中取「兩個映向共同目標的映射的共同解」的方式。若 f : A -> C 與 g : B -> C 是落入同一物件 C 的兩個箭頭，拉回把那些在被推入 C 後一致的元素對（一個來自 A、一個來自 B）組裝起來。它同時是廣義的交、廣義的原像、以及廣義的逐纖維之積，這正是它從黏合資料到幾何中的基變換處處出現的原因。

形式地說，f : A -> C 與 g : B -> C 的拉回是一個物件 P，連同態射 p : P -> A 與 q : P -> B 使 f ∘ p = g ∘ q，並在此類方塊中是泛的：對任何帶有映向 A 與 B、且在 C 上一致的映射的物件 X，存在唯一與 p、q 相容的態射 X -> P。拉回恰是圖 A -> C <- B 的極限，這一角形圖稱為 cospan（餘張量／餘跨）。

在 Set 中，拉回具體為 {(a, b) 屬於 A × B : f(a) = g(b)}，是積中由一致性條件切出的子集。特例還原了熟悉的運算：C 的兩個子物件之拉回是它們的交；f 沿包含 S -> C 之拉回是原像 f^(-1)(S)；而在合適的範疇中 A -> C 與 B -> C 之拉回是用於把一族作基變換的纖維積。一個是拉回的方塊也稱為笛卡兒方塊。