射影空間

想像你站在原點向外望:每一條穿過原點的視線就是一個「方向」。射影空間就是所有這些方向構成的空間。普通空間中位於同一條過原點射線上的兩點,在這裡成為同一個點;這個小小的改變極大地整理了幾何,因為在仿射世界中「平行」的方向如今真的相交了。

形式上,域 k 上的射影 n 維空間 P^n 是向量空間 k^{n+1} 中過原點的直線之集,等價地是 k^{n+1} 去掉原點後按關係 v ~ tv(t 為非零標量)所得的商。一點以齊次坐標 (x_0 : ... : x_n) 表示。它由 n+1 個標準仿射卡 U_i 覆蓋,其中 x_i 非零,每個同構於 A^n,這些卡黏合起來賦予 P^n 光滑射影簇的結構。

射影空間是射影簇的自然居所,也是仿射空間的基本緊化:A^n 作為 x_0 非零的卡嵌入,餘下的超平面 x_0 = 0 是 P^{n-1} 的一份拷貝,即「無窮遠點」。正是這種完備性使貝祖定理變得乾淨——在代數閉域上,一旦置於 P^2 中,兩條次數為 d 和 e 的平面曲線恰好相交於 de 個點(計重數)。