射影簇

仿射簇有個惱人的習慣——會「跑向無窮遠」:兩條平行線永不相交,雙曲線有開放的端點。射影幾何添上一圈無窮遠點,把這些逃逸的部分接住。射影簇就生活在這個緊化後的世界裡,直線總會相交,曲線也會閉合。

具體而言,射影 n 維空間 P^n 具有齊次坐標 (x_0 : ... : x_n),只在相差一個公共非零標量的意義下確定。多項式無法在這樣的點上取值,但當多項式齊次時,其是否為零是有意義的,因為把所有坐標乘以 t,會使取值乘以 t^d。射影簇就是 P^n 中一組齊次多項式的公共零點軌跡。

回報是驚人的:代數閉域上的射影簇是完備的(緊緻性的類比),因此態射的像是閉的,交數表現良好,如貝祖定理所示。代價是不存在單一的全局正則函數坐標環;不可約射影簇上唯一全局正則的函數只有常數,故須改用齊次理想與分次環來處理。