正則函數

正則函數是代數幾何中的「好」函數——相當於微分幾何中的光滑函數或複分析中的全純函數。在任一點附近,它們看起來像分母不為零的、誠實的多項式之比,因此在有定義處沒有極點。

在簇的開子集 U 上,函數 f 在點 p 處正則,若存在 p 的一個鄰域及多項式 g, h,h 在該鄰域上不為零,使得 f 在那裡等於 g/h。若 f 在每一點都正則,則稱其在 U 上正則。U 上的正則函數構成一個環,而把每個開集 U 指派給它的正則函數環就定義了簇的結構層。

在仿射簇 X 上,全局正則函數恰好是坐標環 k[X]——全局上不需要真正的分式——這就是仿射世界裡多項式函數已足夠的原因。但在不可約射影簇上,全局唯一的正則函數只有常數,因為非常數的全局者將是帶極點的無界類比物。這一對比正是射影幾何圍繞層與分次環、而非單一函數環來組織的緣由。