有理映射

有理映射是一種允許在少數壞點處出岔子的態射。正如函數 1/x 在除原點外處處良好,有理映射由多項式之比給出,只在分母不為零的開集上有定義。我們容忍這一點,因為這類映射刻畫了雙有理幾何,而後者把簇分類到「小手術」的程度。

形式上,在不可約簇上,從 X 到 Y 的有理映射是諸對 (U, f) 的等價類,其中 U 是 X 的非空(從而稠密)開子集,f 是態射 U 到 Y,兩對在重疊處相等時視為同一。由於 X 不可約,這些可黏合成一個極大定義域,其補集是不確定點軌跡。人們用虛線箭頭 X 到 Y 表明該映射可能在某處無定義。

有理映射未必可複合,因為前者的像可能整個落入後者的不確定點中;但占優有理映射(像稠密者)確可複合。占優有理映射 X 到 Y 誘導函數域之間的域同態 k(Y) 到 k(X),並且這是個等價:占優有理映射對應於函數域的 k-嵌入。雙有理映射——具有有理逆的有理映射——對應於函數域的同構,這是雙有理幾何的中心等價關係。