簇的態射

若簇是代數幾何的對象,態射就是它們之間允許的運動:尊重多項式結構的映射。正如連續映射是拓撲空間之間、線性映射是向量空間之間的正確映射,態射是「代數幾何能看見的」映射。

從簇 X 到簇 Y 的態射,是底空間之間對扎里斯基拓撲連續、並把正則函數拉回為正則函數的映射:對 Y 中每個開集 V 與 V 上每個正則函數 g,g 與該映射的複合在其原像上正則。對仿射簇這很具體——X 到 A^m 的態射不過是 X 上的 m 元正則函數組,而 X 到 A^m 中之 Y 的態射就是落在 Y 內的這樣一組。

深刻之處是與代數的等價。在固定域上,把簇送往其坐標環給出仿射簇與有限生成約化 k-代數之間的反變等價,而態射 X 到 Y 恰對應於 k-代數同態 k[Y] 到 k[X]。具有雙側逆態射的態射是同構,與坐標環的同構相對應;須注意雙射態射未必是同構,如弗羅貝尼烏斯映射與尖點三次曲線的正規化所示。