零點集

取一些多項式,問它們何處同時為零:那個軌跡就是零點集。它是代數幾何中最基本的運算——把一列方程變成幾何圖形的橋樑——而每個仿射簇都以此方式產生。

給定 k[x_1, ..., x_n] 中的一組多項式 S,其零點集為 V(S) = { a in A^n : 對所有 f in S 都有 f(a) = 0 }。只有 S 生成的理想要緊,故 V(S) = V((S)),增刪已是代數推論的多項式不改變任何東西。映射 V 反轉包含關係:方程越多,切出的軌跡越小。

零點集恰好是扎里斯基拓撲的閉集,這便是 V 為何是代數-幾何對應中幾何那一半的原因。在素譜 Spec R 上,同樣的記號 V(I) 指包含 I 的素理想之集,在極大理想上還原經典零點軌跡,同時把它推廣到所有素理想。須記住不同的理想可以共享同一零點集;V 只探測它們的公共根。