矩陣指數

矩陣指數把 e^x 那個熟悉的冪級數拿來，把一個矩陣餵進去。結果把一個李代數元素（一個「速度」，單位元處的一個方向）變成一個真正的群元素（一個有限變換）。它是把無窮小對稱轉換為有限對稱的引擎。

定義 exp(A) = sum_{k>=0} A^k / k! = I + A + A^2/2 + A^3/6 + ...。這級數對每一個方陣 A 都收斂（其範數被標量級數 e^||A|| 控制），故 exp 在整個 M_n 上有定義。關鍵恆等式：exp(0) = I，d/dt exp(tA) = A exp(tA)，以及 exp(A)^-1 = exp(-A)。但要當心：exp(A+B) = exp(A)exp(B) 僅當 A 與 B 可交換時才成立。

它在此處的主角戲份：exp 把李代數 g 映入它的李群 G。若 A 反對稱，則 exp(A) 正交；若 A 反埃爾米特，則 exp(A) 么正；若 trace A = 0，則 det exp(A) = 1，故 exp 把 sl(n) 送入 SL(n)。恆等式 det(exp A) = exp(trace A) 正是讓這一切奏效的行列式-跡之橋。

它也是你求解線性常微分方程的方式：系統 x'(t) = A x(t) 配 x(0) = x0 的精確解為 x(t) = exp(tA) x0。所以矩陣指數同時是線性動力系統的流，又是單參數子群 t -> exp(tA)。一點提醒：要計算它，請對角化或用約當型——樸素地累加級數既慢又不穩定。