李代數

若李群是一張彎曲的曲面，它的李代數便是在單位元處貼著該曲面的那平直切平面。它是群的線性化版本：從「什麼也不做」出發你能移動的方向。因為它是向量空間，你終於能把全部線性代數工具用到群的局部結構上。

具體地說，矩陣李群 G 的李代數 g 是這樣的矩陣 X 的集合：對一切實數 t，exp(tX) 都留在 G 中。它是一個向量空間（對加法與標量倍封閉），配有一項額外運算——李括號 [X, Y] = XY - YX，它記錄群如何不可交換。李代數恰好是：一個向量空間，加上一個滿足雅可比恆等式的雙線性、反對稱括號。

標準例子由在單位元處對群的定義方程求導而得。對 A^T A = I 求導得 X^T + X = 0，故 so(n) = { 反對稱矩陣 }。對 A^* A = I 求導得 X^* + X = 0，故 u(n) = { 反埃爾米特矩陣 }，而 su(n) 再加上跡為 0。對 det A = 1 求導得 trace X = 0，故 sl(n) = { 跡為零的矩陣 }。

它為何重要：g 上的括號決定了單位元附近的群乘法（經由貝克-坎貝爾-豪斯多夫），於是大量艱深的非線性群論化為線性代數加一個括號。一點提醒：對實群而言，即便矩陣帶複數元素（如 su(n)），g 仍是實向量空間，而反對稱矩陣的括號仍反對稱——在 [.,.] 下封閉才是不平凡之處。