伴隨表示

每個李群都自帶一個在它自己李代數上的表示：它通過共軛作用於單位元處的切空間。這就是伴隨表示。它回答「群如何重新洗牌它自己的無窮小方向？」——是群作用於自身的一幅自畫像。

在群層面，Ad(g) X = g X g^-1：用群元素 g 共軛一個代數元素 X。由於共軛保持李代數且尊重括號，每個 Ad(g) 都是 g 上的可逆線性映射，而 Ad : G -> GL(g) 是一個真正的表示。在單位元處對 Ad 求導給出代數層面的版本 ad(X) Y = [X, Y]：作括號就是無窮小的伴隨作用。

於是括號以表示的面目重現：ad : g -> gl(g)，ad(X) = [X, -]。雅可比恆等式恰好就是 ad 為李代數同態這一斷言。這兩個映射經由指數相連：Ad(exp X) = exp(ad X)，用一個乾淨的指數公式，把群的共軛繫於代數的括號。

它為何重要：伴隨表示組織起群的內部結構——它的核是中心，而對單群它忠實，故群本質上可由它如何作用於自己的代數而恢復。一點提醒：Ad 與 ad 易混——大寫 Ad 是群在作用（用 g 共軛），小寫 ad 是代數在作用（用 X 作括號）；二者由 Ad(exp X) = exp(ad X) 相連。