李括號（換位子）

李括號度量兩個變換在多大程度上不可交換。先 A 後 B，對比先 B 後 A；其差異由 [A, B] = AB - BA 捕獲。若兩操作可交換，括號為零；括號越大，次序越要緊。這單個取值為矩陣的對象，是李代數的心跳。

形式地說，[A, B] = AB - BA 是兩個矩陣的換位子。它雙線性（在每個分量上線性）、反對稱（[A,B] = -[B,A]，故 [A,A] = 0），並滿足雅可比恆等式 [A,[B,C]] + [B,[C,A]] + [C,[A,B]] = 0。這三條性質就是李代數括號的抽象定義——而換位子是其具體模型。

括號是李代數的乘法，取代群的矩陣乘積。關鍵在於，若 X 與 Y 落在李代數 g 中，則 [X, Y] 亦然：兩個反對稱矩陣的換位子反對稱，兩個反埃爾米特矩陣的換位子反埃爾米特，兩個跡零矩陣的換位子跡零（因為 trace(XY) = trace(YX)）。在括號下封閉，正是使 g 成為代數、而不止是向量空間的緣由。

它為何重要：括號是群不可交換性的一階記錄。貝克-坎貝爾-豪斯多夫公式表明 exp(X)exp(Y) = exp(X + Y + (1/2)[X,Y] + ...)，故對樸素相加的領頭修正恰為括號的一半。一點提醒：[.,.] 一般不結合——這正是為何李代數是其自成一格的代數，有別於結合環。