特徵理論與對角化
可交換算子
兩個算子可交換，是指無論以何種順序作用，結果都相同：AB = BA。大多數矩陣對並不可交換——矩陣乘法中順序至關重要——因此可交換是一種特殊而具結構意義的關係，而非常態。
其結構性回報是特徵子空間的不變性。若 AB = BA，且 v 是 A 的特徵向量，A v = lambda v，則 A (B v) = B (A v) = lambda (B v)，故 B v 仍落在特徵子空間 E_lambda 中。換言之：B 把 A 的每個特徵子空間映入自身。這使你能夠逐個特徵子空間地分析 B，而這正是共享特徵向量基得以可能的原因。
因此可交換是開啟同時對角化的鑰匙：一族可交換的可對角化算子擁有一組公共特徵向量基。這一思想遠超線性代數——量子力學中的可交換可觀測量、可一併對角化的可交換對稱性，以及關於一組算子何以能被同時化簡的整套理論，都建立在這一條關係之上。
AB = BA , A v = lambda v => A(Bv) = lambda(Bv) (B preserves the eigenspace E_lambda)
可交換迫使 B 保持 A 的每個特徵子空間不變，從而使共享特徵向量基成為可能。
不可交換的程度由交換子 [A, B] = AB - BA 度量。它恰在 A 與 B 可交換時為零，是海森堡不確定性與李代數結構背後的代數對象。
又稱
另見