特徵子空間

單個特徵向量只是 A 單純拉伸的一個方向。但若 v 是 lambda 的特徵向量，則 2v 是、-v 是，任何共享這個 lambda 的獨立特徵向量的組合也都是。把它們全部收集起來——所有被 A 按同一個 lambda 伸縮的向量，再加上零向量使之成為子空間——就得到 lambda 的特徵子空間。

確切地說，特徵子空間 E_lambda = ker(A - lambda I) = { v : A v = lambda v }。它是一個真正的子空間：對加法和數乘封閉，且總含有 0。它的維數恰好是 lambda 的幾何重數。E_lambda 中的非零向量正是 lambda 的特徵向量。

特徵子空間是對角化的基石。不同特徵值的特徵子空間彼此獨立（只相交於 0），因此把每個特徵子空間的基拼在一起，就得到一組特徵向量基。當這些基合起來張成整個空間時，A 可對角化，空間分解為特徵子空間的直和。