譜投影

當矩陣可對角化時，空間乾淨地分裂為各特徵子空間，任何向量都可分解成每個特徵子空間一份的若干分量。譜投影 P_i 就是執行這一分解的算子：它抽取向量落在特徵子空間 E_lambda_i 中的分量，同時丟棄落在其餘所有特徵子空間中的分量。

形式地說，若 A 可對角化，互異特徵值為 lambda_1, ..., lambda_m，則存在唯一的投影 P_1, ..., P_m，滿足三條性質：每個 P_i 冪等（P_i^2 = P_i）；它們作為投影彼此正交（i != j 時 P_i P_j = 0）；它們之和為恆等（P_1 + ... + P_m = I）。每個 P_i 沿其餘特徵子空間之和，投影到 E_lambda_i 上。

回報是譜分解 A = lambda_1 P_1 + ... + lambda_m P_m。它把 A 改寫成投影的加權和，從而使 A 的函數變得平凡：A^k = sum lambda_i^k P_i，e^A = sum e^lambda_i P_i，一般地 f(A) = sum f(lambda_i) P_i。對於對稱或 Hermitian 矩陣，這些投影是正交投影，這正是譜定理的核心。