借對角化計算矩陣冪

把一個矩陣自乘許多次，既昂貴又不開竅。但若 A 可對角化，A = P D P^-1，則求冪幾乎不費力：A^k = P D^k P^-1，而對角矩陣求冪只需把每個對角元各自取冪。繁重的反覆相乘，就被對一些數取冪所取代。

原因在於望遠鏡式的相消。A^2 = (P D P^-1)(P D P^-1) = P D (P^-1 P) D P^-1 = P D^2 P^-1，同樣的相消重複 k 次便得 A^k = P D^k P^-1。對角化一次，然後代入任意 k，就同時給出對每個冪都成立的閉形式——依同樣思想，還包括 e^A = P e^D P^-1 及其他矩陣函數。

標誌性應用是以閉形式求解線性遞推。把遞推寫成向量更新 u_{k+1} = A u_k；則 u_k = A^k u_0 = P D^k P^-1 u_0，讀出各分量便得顯式公式。對斐波那契數列，其 2x2 友矩陣的特徵值是黃金比 phi 及其共軛，而這正是 Binet 公式 F_k = (phi^k - psi^k)/sqrt(5) 的來處。