主特徵值

若你取幾乎任意一個初始向量，反覆地用 A 去乘它，它最終安定下來的方向，就是最大量值特徵值所對應的特徵向量。那個特徵值就是主特徵值：它的伸縮超過其餘所有，於是在足夠多次相乘之後，它壓過別人，主宰了極限方向。

原因如下。把初始向量按特徵向量基展開，x = c_1 v_1 + ... + c_n v_n。則 A^k x = c_1 lambda_1^k v_1 + ... + c_n lambda_n^k v_n。若對所有其他 j 都有 |lambda_1| > |lambda_j|，則 lambda_1^k v_1 一項增長最快，故除以其大小後，A^k x 基本沿 v_1 方向。相繼長度之比收斂到 |lambda_1|。這就是冪法，最簡單的特徵值算法。

主特徵值是眾多應用的種子。Google 最初的 PageRank 就是網頁鏈接矩陣的主特徵向量，正是用這種反覆相乘的思想算出的。該方法需要一個嚴格的間隙（|lambda_1| > |lambda_2|），以及一個沿 v_1 有非零分量的初始向量；出現並列或複主特徵對時需要改進，但其核心直覺——最大特徵值贏得長程——正是譜半徑的故事被賦予了動態。