特徵值估計

精確計算特徵值意味著求解多項式，這對大矩陣不切實際，對五次及以上更是根本沒有公式。特徵值估計繞開了這一點：它直接從矩陣元出發，圈定特徵值必然所在的位置——界與區域——而無需求解特徵方程。

主力是 Gershgorin 圓盤定理。對每一行 i，在複平面上畫一個圓盤，圓心為對角元 a_ii，半徑等於該行其餘元素絕對值之和 R_i = sum_{j != i} |a_ij|。每個特徵值都落在這些 Gershgorin 圓盤的並集中。於是只消看一眼矩陣，就能把它的整個譜困在區區幾個圓裡。

對於對稱（或 Hermitian）矩陣，Rayleigh 商給出銳利的變分界。商 r(x) = <Ax, x> / <x, x> 總落在最小與最大特徵值之間，因而任一試探向量 x 都給出 lambda_max 的可靠下界與 lambda_min 的可靠上界。Courant-Fischer 極小極大定理把這一點推廣到中間的每一個特徵值。