正定矩陣（positive definite matrix）

正定矩陣是一種特徵值全部嚴格為正的對稱矩陣。它相當於矩陣世界裡的正數：正如一個正數總是把東西朝同一方向縮放，正定矩陣也絕不會以某種方式翻轉向量，使得「能量」x^T*A*x 變成負數或零。

這個能量表達式正是直覺的核心。對任意非零向量 x，總有 x^T*A*x > 0。想像一片碗狀的地形（一個凸拋物面），只有唯一的最低點：這個形狀正是正定矩陣所描述的，這也是為什麼這類矩陣在最佳化中是友好的情形——你希望有唯一的極小值可以一路滑下去。

它們還以共變異數矩陣的形式出現在統計中（變異數不可能為負），並讓你能使用像 Cholesky 分解這樣快速而穩定的方法。它有個近親叫半正定，允許出現零特徵值，使得 x^T*A*x >= 0，此時碗在某些方向上可能是平的。