譜半徑

矩陣的譜半徑，是其最大特徵值按絕對值度量的大小：rho(A) = max |lambda|，取遍所有特徵值 lambda。它忽略方向與符號，只問那個最主導的伸縮因子在量值上有多大。它是一個單一的數，刻畫了算子沿某個特徵方向所能施加的最激烈拉伸。

它的核心作用是支配冪 A^k 的長期行為。若 rho(A) < 1，則 k 增大時 A^k -> 0（動力學衰減）；若 rho(A) > 1，冪會爆炸；若 rho(A) = 1，則保持有界或振盪。更精確地，Gelfand 公式給出 rho(A) = lim ||A^k||^{1/k}，把譜半徑與冪的任意矩陣範數的漸近增長率聯繫起來。

儘管對每個誘導範數都有 rho(A) <= ||A||（譜半徑絕不超過任何算子範數），譜半徑本身一般並不是範數——對一個非零的冪零矩陣它可以為 0。它在矩陣分析中反覆出現：迭代解法的收斂性、離散動力系統的穩定性，以及非負矩陣的 Perron-Frobenius 理論。