特徵理論與對角化
幾何重數
代數重數計的是特徵值作為多項式根出現的次數；幾何重數計的則是更具體的東西——有多少個真正獨立的方向被這個特徵值伸縮。它就是 lambda 所對應的線性無關特徵向量的個數，也等於特徵子空間的維數。
形式地說，lambda 的幾何重數是 dim ker(A - lambda I)，即 A - lambda I 零空間的維數。由秩零定理，它等於 n - rank(A - lambda I)。一條基本定理指出，幾何重數總是至少為 1（一個特徵值至少有一個特徵向量），且永遠不超過代數重數：1 <= 幾何 <= 代數。
這兩者之間的差距正是可對角化問題的全部戲碼。當每個特徵值都滿足幾何 = 代數時，你就有足夠的特徵向量湊成一組基，矩陣可對角化。只要有一個特徵值滿足幾何 < 代數，矩陣就是虧損的：它缺少特徵向量，無法對角化——你必須上升到廣義特徵向量和 Jordan 形才能補全圖景。
A = [2, 1; 0, 2]: alg.mult(2) = 2 but geom.mult(2) = 1 (only one eigenvector direction)
這個 2x2 矩陣有二重根 lambda = 2，卻只有一個獨立特徵向量，因此是虧損的。
便於記憶：幾何重數關乎幾何（真實的特徵向量方向），代數重數關乎代數（多項式的根）。幾何只會輸給代數，絕不會反超。
又稱
另見